La transformada de Fourier.
¿Cómo interpretar la transformada de Fourier?
Normalmente se visualiza la magnitud de la DFT.
Las esquinas representan las frecuencias bajas. ? Características de la imagen que varían lentamente.
La zona interior son las frecuencias altas. ? Características que varían con mucha rapidez.
Frecuencias altas
El blanco indica que tienen poco peso (poca relevancia)
Frecuencias bajas
El negro indica que tienen mucho peso (mayor relevancia)
Los extremos se tocan…
La transformada de Fourier.
Los extremos se tocan…
La DFT se suele representar centrada: desplazar la imagen para colocar el píxel (0,0) en el centro de la imagen.
Esta representación (magnitud de la DFT, centrada) se suele denominar el espectro de la imagen
Por la forma de calcularla, la DFT es semi-simétrica: el cuadrante 1 es simétrico al 3, y el 2 al 4.
En concreto, el F(a,b) es conjugado del F(W-a, H-b).
Propiedades del dominio frecuencial.
Ejemplos 1.
La transformada de una gaussiana es también una gaussiana
Imagen de entrada
Espectro
Imagen de entrada
Espectro
La transformada de la inversa de una imagen no cambia en la magnitud (se invierte el ángulo)
Propiedades del dominio frecuencial.
Ejemplos 2.
La acumulación de valores altos en una dirección, indica características destacadas en la imagen en cierto ángulo y frecuencia
Imagen de entrada
Espectro
Imagen suavizada
Espectro
La DFT de una imagen suavizada elimina (pone a 0) las frec. altas y respeta las bajas
Propiedades del dominio frecuencial.
Ejemplos 3.
Por el contrario, el perfilado aumenta las frecuencias altas, respetando las bajas
Imagen perfilada
Espectro
Imagen gradiente Y
Espectro
La transformada de la derivada extrae las frecuencias en determinada dirección
Propiedades del dominio frecuencial.
Ejemplos 4.
El ruido desestructurado (ruido blanco) afecta por igual a todas las frecuencias, las aumenta
Imagen con ruido
Espectro
Imagen de entrada
Espectro
Pero normalmente el ruido afecta sólo a ciertas frecuencias características
Bandas de ruido
Propiedades del dominio frecuencial.
Ejemplos 5.
El espectro de una imagen rotada aparece rotado en la misma cantidad
Imagen rotada
Espectro
Imagen trasladada
Espectro
El desplazamiento no afecta a la DFT, siempre que aparezcan visibles los mismos trozos (sólo cambia la fase)
Propiedades del dominio frecuencial.
Ejemplos 6.
El espectro de una imagen reducida en cierta cantidad K consiste en coger del espectro orig. la zona central de tamaño K. Las frecuencias altas se pierden
Imagen reducida 1/4
Espectro
Imagen reducida 1/6
Espectro
Propiedades del dominio frecuencial.
Esto está relacionado con el teorema de muestreo: la resolución de la imagen debe ser por lo menos el doble de la frecuencia más alta de interés (el detalle más pequeño).
Imagen 400×400
Al reducir resolución, se recortan las frecuencias más altas.
Imagen 200×200
Imagen 100×100
Este tipo de aliasing se denomina moaré (o muaré)
Propiedades del dominio frecuencial.
En todos los ejemplos anteriores, se aplica la DFT en los tres canales (R, G, B) de forma independiente.
En la salida, cada canal es la DFT de ese canal. El resultado debería ser en color. ¿Por qué aparecen siempre en gris?
Imagen de entrada
Espectro
Resultado: normalmente, todos los canales de color aportan la misma o parecida información frecuencial.
Propiedades del dominio frecuencial.
Otra idea interesante es que en casi todas las imágenes los valores altos de magnitud están en la parte central.
¿Qué significa esto?
¿Por qué ocurre así?
¿Para qué puede servir?
Propiedades del dominio frecuencial.
¿Qué significa?
Recordar, la parte central del espectro indica los comp. frecuenciales bajos, los que varían lentamente.
Este fenómeno nos indica que normalmente los componentes bajos son los importantes, mientras que los altos son irrelevantes, su contribución es muy pequeña (magnitud reducida).
(Gp:) X
(Gp:) Y
También son relevantes los componentes altos de X para frecuencia 0 de Y, y viceversa.
¿A qué es debido?
Propiedades del dominio frecuencial.
¿Por qué ocurre?
Recordar la relación de vecindad entre píxeles: en una imagen “natural” se espera que dos píxeles próximos tengan valores parecidos.
Las frec. altas significan variaciones rápidas o abruptas en las imágenes. Pero estas son menos comunes. Lo normal es encontrar variaciones suaves y zonas uniformes.
Imagen de entrada
Espectro
Aplicaciones de la DFT.
Este resultado tiene una aplicación directa en compresión de imágenes.
Compresión: calcular la DFT y eliminar los componentes frecuenciales con magnitud baja.
Descompresión: rellenar los componentes eliminados con valor 0 y calcular la DFT inversa.
Esta es la base de la técnica de compresión JPEG, aunque como vimos se aplica otra transformación (DCT) y algunas fases adicionales.
Imagen original
Espectro original
Espectro reducido
Imagen descomprimida
DFT
IDFT
Aplicaciones de la DFT.
Otra aplicación interesante del dominio frecuencial es el análisis del tipo y nivel de ruido y su eliminación.
Podemos distinguir dos tipos de ruido:
Ruido blanco. Afecta por igual a todas las frecuencias.
Ruido repetitivo. Afecta a ciertas frecuencias concretas.
Ejemplo, espectro de imagen con ruido blanco
Ejemplo, espectro de imagen con ruido repetitivo
El ruido blanco es difícil de eliminar sin degradar la calidad de la imagen.
Eliminación del ruido repetitivo: eliminar (poner a 0) las bandas de ruido.
Aplicaciones de la DFT.
Proceso de eliminación del ruido repetitivo:
Calcular la DFT de la imagen.
Localizar las bandas de ruido en la DFT.
Poner a 0 las bandas de ruido.
Calcular la DFT inversa de la imagen retocada.
Imagen original
Espectro original
Espectro retocado
Imagen restaurada
DFT
Bandas de ruido
IDFT
¿Cómo localizarlas de forma automática?
Aplicaciones de la DFT.
La eliminación de las bandas de ruido es un producto de dos imágenes (píxel a píxel) en el dominio frecuencial.
A: imagen de entrada (dom. espacial)
F: imagen A en el dominio frecuencial (F = DFT(A))
G: máscara de eliminación de ruido.
F – Espectro original
G – Máscara de ruido
·
=
F’ – Espectro retocado = F·G
1 = Blanco
0 = Negro
Aplicaciones de la DFT.
Ejemplo 1. Eliminación de ruido. Se ha aplicado un zoom, perfilado y ajuste del contraste, para apreciar mejor el ruido.
Imagen original
Imagen restaurada
R= IDFT(F·G)
También podemos usar la máscara opuesta (es decir, 1-G), para quedarnos sólo con el ruido.
Imagen del ruido
Aplicaciones de la DFT.
Ejemplo 2. Eliminación de ruido.
Imagen original
Espectro original
En este caso, el ruido está mucho más localizado
Aplicaciones de la DFT.
Ejemplo 2. Eliminación de ruido.
Imagen reconstruida
Espectro retocado
Podemos intentar aplicar otro paso más de eliminación de ruido, aplicando un suavizado gaussiano.
Aplicaciones de la DFT.
Ejemplo 2. Aplicando suavizado gaussiano.
Imagen reconstruida y suavizada
Espectro resultante
Con esto hemos eliminado todo el ruido… pero no sólo el ruido, también las frecuencias altas. Hemos perdido información.
¿Y esto?
Aplicaciones de la DFT.
La existencia de valores grandes para frecuencias altas en una dimensión y bajas en la otra, se debe a que la DFT supone que la imagen se repite infinitamente en el plano.
Este fenómeno produce discontinuidades abruptas en los bordes, horizontales y verticales, que se reflejan en la DFT.
Para evitarlo se pueden usar funciones de enventanado.
Aplicaciones de la DFT.
Enventanado (windowing): modificar los bordes, para que la imagen se pueda plegar suavemente (sin discontinuidades).
El enventanado tiene sentido en análisis y restauración de imágenes. Podemos eliminar sin problemas todas las frecuencias altas en un eje (aunque sean bajas en el otro).
Imagen suavizada y enventanada
Espectro
Aplicaciones de la DFT.
Otra propiedad fundamental de la DFT es la relación con las convoluciones: la convolución de una imagen en el dominio espacial es equivalente a un producto en el dominio frecuencial.
Sea A una imagen y M una máscara de convolución:
DFT(M?A) = DFT(M)·DFT(A)
Donde “?” es la operación de convolución, “·” es el producto de dos imágenes píxel a píxel (global), y DFT(M) es la DFT de la másc. de convolución (suponiéndola como una imagen del mismo tamaño que A).
Consecuencia: en lugar de aplicar convoluciones en el dom. espacial, podemos aplicar productos en el frecuencial:
M?A = IDFT(DFT(M?A)) = IDFT(DFT(M)·DFT(A))
Aplicaciones de la DFT.
Ejemplo. Convolución con máscara gaussiana.
?
Gaussiana 17×17
=
·
=
M
A
M?A
DFT(M)
DFT(A)
DFT(M)·DFT(A)
Aplicaciones de la DFT.
Pero el verdadero interés de esta propiedad son las operaciones denominadas de deconvolución.
Deconvolución: dada una imagen, A, a la cual se le ha aplicado una convolución, aplicarle otra convolución (convolución inversa) para obtener la imagen original.
Las deformaciones por desenfoque, movimiento, perturbación atmosférica, etc., se pueden modelar como convoluciones, M, de formas conocidas.
La imágenes resultantes salen borrosas debido a estas convoluciones: B= M?A
Objetivo: encontrar la convolución inversa, N, para recuperar la imagen original: A= N?B
Pero, ¿cómo podemos calcular N a partir de M?
Aplicaciones de la DFT.
El problema se simplifica en el dominio frecuencial.
Sea F = DFT(B), la imagen que tenemos (la deformada),
Sea H = DFT(M), la deformación de tipo conocido,
Sea G = DFT(A), la imagen que queremos reconstruir.
Tenemos:
B = M?A ? DFT(B)= DFT(M?A) ? DFT(B) = DFT(M)·DFT(A)
Luego: F = H·G ? G = F/H
Siendo “/” la división, píxel a píxel.
¡Si sabemos la deformación producida por un desenfoque o un movimiento, podemos reconstruir la imagen original con IDFT(G)! Es decir:
IDFT(DFT(B)/DFT(M))
Esto es lo que se llama una restauración mediante deconvolución.
Aplicaciones de la DFT.
Proceso de deconvolución.
1) Calcular la DFT de la imagen de entrada, F.
2) Averiguar la forma de la deformación, y calcular su DFT, H.
3) CalcularG= F/H.
4) Calcular la IDFT de G.
M
B
G= F/H
F= DFT(B)
H = DFT (M)
Ojo, esto es una división de números complejos
IDFT(G)
Aplicaciones de la DFT.
Ejemplo. Una imagen sufre una deformación de tipo “eco”. La imagen se repite desplazada 25 píxeles en X y 5 píxeles en Y. Restaurar la imagen original.
¿Cuál es la máscara de convolución asociada a esta deformación?
M
25 píxeles
5 píx.
B
F = DFT(B)
Aplicaciones de la DFT.
Aplicamos la deconvolución, usando la máscara M.
M
25 píxeles
5 píx.
H = DFT(M)
G = F/H
A = IDFT(G)
La restauración es perfecta… porque la deformación es “artificial” y conocida
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